Detektiividel tuleb ikka aeg-ajalt ette, et ärkamine toimub mõnes ebatavalises kohas. Nojah, tavaliselt on sellele eelnenud kas suurem jooming või siis kõrvaltänavas saadud hoop vastu pead. Krüptodetektiiviga on samuti juhtunud nii üht kui teist, aga seekord ärkas ta matemaatilises struktuuris. Nojah, tegelikult on selles lauses kõik valesti, ta ei olnud „ta“, ta ei „ärganud“ ja loomulikult ei olnud see, kus „ta“ „ärkas“ ka mitte matemaatiline struktuur, aga jäägem esialgu meile arusaadava keele juurde.
Mis on maailma „põhjaks“?
Inimesi on alati huvitanud see, mis on tegelikkuse aluspõhjaks, kõige algsemaks ja fundamentaalsemaks olemasolu aluseks. Eelsokraatilised kreeka filosoofid otsisid maailma alget, algainet, millest kogu maailm on tehtud. Selleks pakuti küll vett, õhku, tuld, maad ning ka täpsemalt määratlemata ürgalget (apeiron). Hilisemad kreeka filosoofid tunnistasid algelementidena samuti vett, õhku, tuld ja maad. Kreeka atomistide (Leukippos, Demokritos, Epikuros) vaadete kohaselt koosneb kõik olemasolev aatomitest ja tühjusest. Selline väide tundub ilmselt paljudele mõistlik ka tänapäeval.
Teadusliku füüsika rajaja Galileo Galilei (1564–1642) kujutas aatomeid matemaatiliste punktidena, mida oli lõpmatu arv ning mis asusid tühjuses. Isaac Newton (1643–1727), kes töötas välja mehaanika põhiseadused ja gravitatsiooniseaduse, toetas samuti aine atomistlikku ehitust: „Arvestades kõike seda, tundub mulle tõenäoline, et Jumal lõi alguses mateeria tahketest, massiivsetest, läbitungimatutest, liikuvatest osakestest, sellistes mõõtudes ja kujudes ning selliste teiste omadustega ning sellistes suhetes ruumiga nagu läbi viidud selle lõpuni, milleks ta neid lõi; ning need algosakesed on tahked, olles võrreldamatult tugevamad kui iga poorne keha, mis neist koosneb; isegi nii tugevad, et ei kulu kunagi ega purune tükkideks; ükski tavaline jõud ei suuda jagada seda, mille jumal lõi tervikuks esimese loomisega.“1 Need osakesed liikusid hiiglaslikus ühetaolises ruumis igavesti. Seega moodustasid njuutonliku maailmapildi osakesed ning absoluutsed ruum ja aeg, mis ei sõltunud ei osakestest ega üksteisest. Osakeste oluliseks tunnuseks oli nende mass, mis mõjutas vastavalt gravitatsiooniseadusele nende omavahelist tõmbumist.
Jõudude käsitlemisel tegi järgmise olulise sammu Michael Faraday (1791–1867). Ta oli ilma ametliku hariduseta, kuid kuna ta oli töötanud alates 14. eluaastast raamatuköitjana, oli tal võimalik end mitmekülgselt harida. Eriti huvitus ta loodusteadustest ning peagi jõudis ta kuulsa keemiku Humphrey Davy laborandiks ning kujunes silmapaistvaks loodusteadlaseks. Tema peamisteks uurimisteemadeks olid elekter ja magnetism. Faraday oli geniaalne eksperimentaator ning lisaks suutis ta füüsikalisi nähtusi piltlikult ette kujutada. See oli ka ainus võimalus, kuna ta tundis väga kehvasti matemaatikat. Uurides kehade vahel toimivaid elektri- ja magnetjõudusid jõudis ta järeldusele, et otseselt kehade vahel mõjuvate jõudude asemel tuleks ette kujutada ruumi läbivat entiteeti, mida mõjutavad elektrilised ja magnetilised kehad ning mis omakorda jällegi mõjutab neid kehi. Faraday kirjeldatud entiteet on väli, tänapäeva füüsika üks põhimõistetest. Faraday kujutas välja ette lõpmatult peenikeste joonte kimbuna. Tegemist on silmale nähtamatu võrgustikuga, mis täidab kogu ruumi. Ta nimetas need jooned jõujoonteks, kuna need kannavad edasi kehasid mõjutavaid jõudusid. Lisaks newtonliku füüsika osakestele, mis liiguvad ruumis aja kulgedes, lisas Faraday välja, mis vahendab osakestevahelisi jõudusid. Faraday ideele andis täpse matemaatilise kuju James Clerk Maxwell (1831–1879), kes näitas ka seda, et elektri- ja magnetväli moodustavad tegelikult ühtse elektromagnetvälja. Maxwelli võrrandid kirjeldavad hämmastavalt suurt hulka meid ümbritsevaid nähtusi, sealhulgas ka valguse olemust ja levimist. Nii et maailm koosnes peale Faraday ja Maxwelli avastusi ruumist ja ajast ning ruumis liikuvatest osakestest ning seal asuvatest väljadest.
Järgmised olulised avastused maailma kirjeldamisel on seotud XX sajandi kahe suure füüsikateooriaga, nimelt relatiivsus- ja kvantteooriaga. Relatiivsusteooria, mille töötas välja Albert Einstein (1879–1955), muutis klassikalise füüsika arusaamu ajast ja ruumist. Erirelatiivsusteooria käsitleb muu hulgas ruumi ja aja käitumist teineteise suhtes liikuvate vaatlejate seisukohast. Kahes punktis toimuvate sündmuste üheaegsus on suhteline ning kehtib vaid ühes inertsiaalsüsteemis. Aeg ja ruum osutuvad suhtelisteks, kestus ja vahemaa võivad olla vaatlejatele erinevad. Aeg ja ruum saavad mõistetavaks ühtses aegruumis. Erirelatiivsusteooria käsitab aegruumi tasasena ( pseudoeukleidilisena), seevastu üldrelatiivsusteooria kõverana ning see kõverus seostub gravitatsiooniga. Üldrelatiivsusteooria käsitleb gravitatsiooni geomeetrilise nähtusena kõveras aegruumis. See tähendab, et gravitatsioon tuleneb aegruumi geomeetrilistest omadustest. Aegruumi kõverus sõltub seejuures energiast ja massist, mis kõverdab enda ümber aegruumi. Einsteini idee seostada gravitatsiooniväli aegruumi geomeetriaga meetrilise tensori kaudu on üks ilusamaid füüsika ajaloos. Seega ühendas Einstein aegruumi ja väljad ning maailma aluselementideks jäid osakesed ja väljad.
Välju iseloomustab suurus, millel on igas ruumipunktis igal ajahetkel kindel väärtus. Kui vaatame näiteks ilmakaarti, kuhu on märgitud temperatuurid, siis võib seda võtta väga piltliku ettekujutusena väljast. Igas ruumipunktis on igal ajahetkel mingi kindel õhutemperatuur. Selliseid välju kutsutakse skalaarväljadeks. Teist tüüpi väljad on vektorväljad, mille korral vastab igale ruumipunktile mitte üks väärtus, vaid vektor, mis teatavasti koosneb suuruse arvväärtusest ja suunast. Meie ilmakaardi näite korral on vektoriks näiteks tuule tugevus ja suund, igas punktis igal ajahetkel. On ju tuule korral oluline nii selle tugevus kui ka puhumise suund. Näiteks elektrilaengud loovad enda ümber elektrivälja, mis mõjutab teisi laenguid. Kui asetame elektrilaengu kuhugi ruumi, siis määrab elektrivälja tugevus selle, millist jõudu laeng tunneb ja kui kiiresti hakkab liikuma. Elektriväli on vektorväli, mis koosneb laetud keha ümbritseva ruumi iga punkti kohta antud vektoritest. Seega määrab see peale laengut mõjutava jõu ka osakese liikumise suuna. Inimene elektrivälja otseselt ei taju, me saame sellest aimu vaid tänu selle mõju tõttu aineosakestele ja mõõteseadmetele. Elektriväli on tihedalt seotud magnetväljaga ning need koos moodustavad elektromagnetvälja. Magnetväli on sarnaselt elektriväljaga vektorväli.
Klassikaline väljateooria aga ei võta arvesse kvantmehaanilisi nähtusi. Nii näiteks on osa elektromagnetilisi nähtusi seotud diskreetsete osakeste – footonitega, mida klassikaline väljateooria ei kirjelda. Väljade kvantmehaanilise kirjeldamisega tegeleb kvantväljateooria. Vastavalt kvantväljateooriale on kõik osakesed seotud väljadega ning kujutavadki endast antud välja kvante. Klassikalise väljateooria kvantiseerimise käigus asendati vastavates valemites füüsikalised suurused operaatoritega, mis väljendavad kindlaid matemaatilisi operatsioone, nagu integreerimine, diferentseerimine, ruutjuure võtmine jne. Operaatorid loovad omalaadse täiendava abstraktse kihi, nii et kui meie eespool näitena toodud ilmakaardil on temperatuuri väärtuseks mingil ajahetkel mingis kohas kindel arv, siis kvantvälja korral on välja väärtuseks operaator. Tegeliku väärtuse leidmiseks on vajalik olekuvektorile, mis iseloomustab antud süsteemi konfiguratsiooni, rakendada vastavat operaatorit.
Kuhu me siis oma fundametaalsuse otsingutel välja oleme jõudnud? Tundub, et kogu maailma „põhjaks“ on väljad. Tõsi küll, kvantväljade ja gravitatsioonivälja ühendamine ei ole veel teoks saanud ja selle nn kõige teooria loomine on tänapäeva füüsika püha graal. Samuti on võimatu öelda, mida need väljad siis tavamõistes endast kujutavad. Tegemist on ju arvude ja nendega manipuleerimise reeglitega ehk siis matemaatikaga!
Miks on nii, et oma ümber näeme reaalseid füüsikalisi objekte, lähemal uurimisel aga muutuvad need hoopiski matemaatilisteks abstraktseteks objektideks? Krüptodetektiiv on nüüd, pärast äsjast kogemust, veendunud, et vastuseks on see, et tegelikult ongi reaalsus matemaatilised objektid ja ei midagi muud.
Kõige aluseks on arv
Nüüd peame aga uuesti tagasi Kreekasse pöörduma. Üks varajasi filosoofe, nimelt Pythagoras arvas samuti, et maailma aluseks on arv. Pythagorase (u 580–500 eKr) elust ei ole palju teada, kui jätta kõrvale igasugused põnevad legendid, nagu näiteks see, et tal olevat olnud kullast puus.2 Ta sündis Samose saarel, kuid lahkus sealt vastuolude tõttu türann Polykratesega 40 aasta vanuselt. Seejärel rändas ta ringi Babüloonias ja Egiptuses ning hiljem asus elama Itaalias asuvasse Kreeka kolooniasse Krotoni linna. Pythagoras asutas Krotonis õpetamisega tegeleva asutuse, kuhu võisid astuda nii mehed kui ka naised. See oli tollal täiesti harukordne. Pythagorase õpetus oli salajane ja õppetöö ainult suuline. Tegemist oligi mitte niivõrd filosoofilise koolkonna või traditsioonilise kooliga, kuivõrd ususektiga, kes hoidis oma avastusi ja vaateid kiivalt saladuses. Seal teostati religioosseid riitusi, harrastati kunste, õpilaste elu oli reglementeeritud ja askeetlik. Peale Krotoni võitu naaberkoloonia Sybarise üle tulid võimule demokraadid, kes alustasid pütaagorlaste vastast kampaaniat, kuna need olid demokraatia vastased. Ei ole kindel, kas Pythagoras tapeti rahutuste käigus või õnnestus tal lahkuda Metapontionisesse.
Pütaagorlased uskusid hingede rändamist pärast surma uude kehasse. Pythagoras olevat väidetavalt mäletanud oma varasemaid inkarnatsioone.
Kõige eripärasem ja tuntum oli aga pütaagorlaste arvuõpetus.3 Eks me kõik ole sellest kuulnud Pythagorase teoreemi vahendusel: täisnurkses kolmnurgas on kaatetite ruutude summa on võrdne hüpotenuusi ruuduga. Kõik me oleme seda ju koolis õppinud! Teoreem ise oli küll tuntud juba Babüloonias ja Vana-Egiptuses, kuid selle tõestus mõeldi välja alles Vana-Kreekas. Tegelikult leidsid sõltumatu tõestuse nii Hiina kui ka India matemaatikud, kuid teave nende avastustest ei jõudnud Euroopasse. Pole selge, kas selle avastas Pythagoras või siis mõni hilisem pütaagorlasest filosoof. Pütaagorlaste õpetuse kohaselt olid arvud kogu maailma aluseks: „Kõikidel tuntud asjadel on number, ilma selleta ei saa midagi mõelda ja teada.“ Esimese matemaatiliselt formuleeritud loodusseaduse leidsid samuti pütaagorlased. Nimelt avastasid nad seose heli kõrguse ja võnkuva helikeele pikkuse vahel. Kas arvud olid nende arvates asjad ise või moodustusid kehad arvudest kui algainest, ei ole tänapäeval enam võimalik kindlaks teha. Igal juhul oli nende arvates matemaatika jumalik teadus, mis tegeleb maailma olemusega. Enam kui kaks tuhat aastat hiljem väljendas sama ideed minu arvates väga kaunilt Henry David Thoreau: „Iga tõe kõige selgem ja ilusam väljendus peab lõpuks võtma matemaatilise kuju. Me võime niimoodi lihtsustada moraalifilosoofia ja aritmeetika reegleid, et üks valem väljendab mõlemat.“4
Matemaatiline maailm ja igaviku ilu
Matemaatika on kahtlemata midagi kasulikku, leiame siis, kui suudame välja arvutada meie palgast maha mineva tulumaksu. Aga kasulikkus ei ütle midagi selle kohta, kas see on ka maailma olemuslik osa. Siinkohal lähevad ka füüsikute ja matemaatikute arvamused lahku. Näiteks füüsik Smolin on väitnud: „Ei ole olemas matemaatilist objekti, mis oleks isomorfne universumi kui tervikuga ning seega puudub ka täielik vastavus looduse ja matemaatika vahel. Ei ole olemas igavikulisi seadusi: need alluvad ajale ja põhjuslikkusele ning võivad areneda.“5 Samal ajal võib jällegi väita, et matemaatika on iseseisvalt, inimestest sõltumatuna olemas. Krüptodetektiivi vana tuttav Kurt Gödel6 on iseloomustanud matemaatilisi kontsepte nii: „Nad moodustavad iseseisva objektiivse reaalsuse, mida meie ei suuda ei luua ega muuta, vaid ainult tajuda ja kirjeldada.“7 Kas arvud, näiteks 5 ja 7 eksisteerivad inimesest sõltumatutena või on nad meie leiutiseks, samasuguseks nagu näiteks aurumasin ja arvuti? Kui tegemist on meie leiutisega, kas siis inimesed mõtlevad kogu aeg arve juurde ning kui me enam neid juurde ei mõtle, kas siis ongi arvud otsas? Kui arvud eksisteerivad meist sõltumatutena, siis kus nad on?
Universum on vägagi korrapärane koht. Füüsikaseadused kehtivad igal pool ja igal ajal, vähemalt selles ulatuses, mida teame ja tunneme. Iga vaatleja, asugu ta kus tahes ja liikugu ükskõik millise kiirusega, näeb samu seadusi. Universumis on lõputu hulk objekte ja nähtusi, kuid neid kirjeldavate seaduste hulk on suhteliselt väike. Teaduse areng on viinud eri teooriate seostamisele ja üha hõlmavamate teooriate loomiseni. Kas on võimalik kogu füüsikalise maailma toimimist kirjeldava kõiksuse teooria loomine, on muidugi suuresti lahtine küsimus, kuid igal juhul püüame seda teha. Füüsikalised teooriad on oma olemuselt matemaatilised ning just matemaatika teebki võimalikuks teooriate ühendamise järjest üldisemateks.
Kui matemaatilised struktuurid on reaalselt olemas, siis tekib kohe küsimus, kus nad siis ontoloogilises mõttes asuvad. Nende eksistents peaks olema sõltumatu füüsilisest reaalsusest. Järelikult peavad nad olema väljaspool universumit. Ometigi inimesed saavad neid kogeda, järelikult ulatub meie mõistus väljapoole füüsikalist universumit. Kõlab juba täiesti jaburalt! Hoopis mõistlikum on vaadata kogu asjale nii, et nende kahe maailma vahel ei ole selget eraldusjoont, või isegi nii, et tegemist ongi ühe maailmaga. Füüsiline maailm toimib vastavuses matemaatilise struktuuriga. Loomulikult ei suuda me veel seletada kõiki nähtusi matemaatiliselt, aga on ka küllalt neid, mida suudame, ja see hulk kasvab pidevalt suuremaks. Ma ei näe ühtegi põhjust, et me ei võiks kõike olemasolevat seletada matemaatiliselt ning sellisel juhul leiamegi, et see „kõik olev“ on isomorfne, matemaatilise struktuuriga. Tõepoolest, kas meil õnnestuks leida midagi füüsilisest maailmast, millele ei vasta mingi matemaatiline struktuur? Ega vist. Nagu ennist ütlesin, võime jääda hätta mõne nähtuse või objekti kirjeldamisega, kuid see ei ole põhimõtteline raskus. Nii et universum on tegelikult identne matemaatilise struktuuriga. Kas me seda kunagi tundma õpime ja sellest aru saame, on hoopiski iseküsimus. See struktuur võib lihtsalt olla liiga keerukas, et me sellest aru saaksime.
Kui tunnistame, et maailm on isomorfne, matemaatilise struktuuriga, kas see siis tähendab seda, nagu füüsik Max Tegmark on väitnud, et maailm ongi ise matemaatiline struktuur?8 Lihtsam on väita, et matemaatika lihtsalt kirjeldab maailma. Kuigi ka selles väites ei ole midagi lihtsat, tundub see mõnusam ja kodusem. Siin ei ole enam midagi teha: kui universum on isomorfne, mingi meile veel tundmatu matemaatilise struktuuriga, siis ei ole meil võimalik nende vahel mingit vahet teha. Kui me aga nendel vahet ei saa teha, siis nad ongi üks ja seesama. Seda see isomorfism tähendabki. Meil ei ole põhimõtteliselt võimalik mõelda välja mingit vaatlust või eksperimenti, mis teeks vahet täpselt ühesugustel objektidel.
Matemaatiline maailm on hoopis teistsugune, nagu on seda kogenud ka krüptodetektiiv. Oma ümber näeme pidevalt muutuvat maailma. Kogu aeg toimub midagi. Kui vaatan aknast välja, siis ma liigutan pead ja keha. Väljas näen ma hekis sibistavaid varblaseklutte. Tuul liigutab sirelilehti ja mööda teed sõidavad aeg-ajalt autod. Kõik tundub olevat kogu aeg pidevas muutumises. Matemaatilised struktuurid on aga staatilised. Arv kolm on muutumatu ja igavene, täpselt samamoodi nagu ta seda oli ka miljard aastat tagasi ja samasugune on ta ka miljardi aasta pärast. Kui eeldame, et füüsikaline reaalsus on tegelikult matemaatiline struktuur, siis kuidas saab pidevalt muutuv olla samaaegselt ka täiesti muutumatu? Kuidas me ise saame olla matemaatiline struktuur? See tundub juba täiesti imelik. Ma olen lihast ja luust olend, mitte mingisugune võrrand. Kui tavakäsitluses on ruum ja aeg küll alati koos, kuid samas ka lahutatud, siis relatiivsusteoorias on aeg ja ruum ühendatud. Täpsemalt esitas selle idee Hermann Minkowski, Einsteini Zürichi-aegne õpetaja. Ta on pakkunud välja idee, et aega tuleks käsitleda sarnaselt ruumimõõtmetega, lihtsalt kui neljandat mõõdet lisaks kolmele tavapärasele ruumimõõtmele.
Minkowski aegruum on sündmuste ruum, kus iga punkt on määratud ajaga ja asukohaga ruumis. Liikumisjoont, mis kajastab mingi objekti asukohti aegruumis nimetatakse maailmajooneks. Harilik kolmemõõtmeline objekt, näiteks inimene, eksisteerib neljamõõtmelises aegruumis maailmatoru (world tube) kujul. Võime ka vabalt öelda, et neljamõõtmeline maailmatoru tuleb esile meile harjumuspärases kolmemõõtmelises ruumis kolmemõõtmelise ristlõike kujul. Ma olen kolmemõõtmeline lõik kindlal ajahetkel (minu jaoks praegusel hetkel) maailmatorust. See toru kulgeb piki ajatelge ja muudab oma suunda ruumitelgede suhtes. Neljamõõtmeline aegruum ei eksisteeri ei ruumis ega ajas, see ise ongi nii ruum kui ka aeg! See tähendab seda, et väljaspool seda ei ole mitte midagi.
Kui sellises matemaatilises struktuuris esineb eneseteadvuslik allstruktuur (jah, kallis lugeja, ma mõtlesin just sind!), siis tema tajub seda neljamõõtmelist maailma just nimelt kolmemõõtmelise ruumi ja ühemõõtmelise ajana. Hästi, aga mis siis juhtus krüptodetektiiviga, et tema silmad „avanesid“ ja ta hakkas tajuma matemaatilist struktuuri ennast? Vägagi tõenäoliselt tabas teda matemaatilise intuitsiooni hoog, sest ainult see võimaldab inimesel tajuda matemaatilisi struktuure.
1 Isaac Newton, Opticks. Originaal 1704. New York: Dower,1979, lk 400. https://archive.org/details/Optics_285
2 Pythagorase kohta vt nt: Kitty Ferguson, Pythagoras: his lives and the legacy of a rational universe. Icon Books, 2010.
3 Selle kohta vt: Universumi mikromaailm. Tallinn, 2003, lk 26–32.
4 Henry David Thoreau, A week on the Concord and Merrimack rivers. Penquin Classics, 1998, lk 291.
5 L. Smolin, A naturalist account of the limited, and hence reasonable, effectiveness of mathematics in physics. Foundational Questions Institute, 2015. http://fqxi.org/community/forum/topic/2335
6 Kurt Gödelist oli pikemalt juttu järgmises loos: Kurmo Konsa, Mees kelle tapsid abstraktsed objektid – Sirp, 9. III 2018.
7 Kurt Gödel, Collected Works. Vol. III. Oxford University Press,1995, lk 320.
8 Max Tegmark, Our mathematical universe: my quest for the ultimate nature of reality. Penquin Books, 2014. Eesti keeles vt: Max Tegmark, Paralleelsed universumid. Tlk Kalle Hein. Akadeemia, 2004, 10, lk 2165–2211.