XIX sajandi lõpu ja XX sajandi alguse kõige mõjuvõimsam ja laiema haardega matemaatik David Hilbert (1862–1943) väitis: „Keegi ei saa meid ajada välja paradiisist, mille Cantor on meile loonud.“1 Kes oli Cantor ja millist paradiisi Hilbert silmas pidas?
Saksa matemaatik Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845–1918) avastas lõpmatu hulga lõpmatusi, mis kõik ei pruugi olla ühesuurused. See 1874. aastal tehtud avastus on kõige märkimisväärsem läbimurre lõpmatuste käsitlemisel. Lõpmatus sai filosoofilisest ja teoloogilisest probleemist matemaatika õigustatud objektiks, mida võis analüüsida sarnaselt arvude või geomeetriliste kujunditega. Peale seda Cantori avastust ei olnud maailm enam endine.
Cantor oli see mees, kes paotas ukse Gödeli maailma, lastes meie peale paista lõpmatuste külmal kumal. Nagu me edaspidi näeme, ei julgenud paljud sealt sisse piiluda, vaid väitsid, et nad teavad niigi, kuidas asjad on. Cantor seevastu teadis, mis kaalul on, tema loodud transfiniitne matemaatika suutis kirjeldada maailmu, mis jäid kaugele-kaugele inimeste kogetavast ning andsid seega tunnistust matemaatilise intuitsiooni jõust. Cantorile, kes oli sügavalt usklik inimene, tähendas see ka kindlasti osasaamist jumalikust lõputusest.
Kuidas on see kõik seotud aga krüptodetektiiviga, kelle me jätsime, nagu te kindlasti mäletate, lõksu matemaatilisse struktuuri?2 Matemaatiline struktuur on plokkuniversum – maailm, kus puudub dünaamika, kus kõik on korraga antud. Kuna selles maailmas ei ole aega, siis ei ole selles ka mingit muutumist. Sellist maailma on kenasti iseloomustanud Ameerika teoreetiline füüsik Robert Geroch: „Aegruumis endas puudub dünaamika: selles ei liigu kunagi midagi; midagi ei juhtu; midagi ei muutu. Eriti ei tasu mõelda, et osakesed liiguvad läbi aegruumi või et nad jälgivad oma maailmajooni. Pigemini osakesed lihtsalt on aegruumis ning nende maailmajoon esitab tervikuna kogu osakese täielikku elulugu.“3
Milline võiks olla sellise maailma keel? Gödeli maailma „keeleks“ on midagi, mida seal on kõige enam ja selleks on lõpmatused. Kuigi vist sõna „keel“ on siinkohal veidi imelik kasutada. Lõpmatused on lõpmatult keerulised. Nii on ka lõpmatuste keel lõpmatult keeruline, aga teistsuguse keelega ei saakski Gödeli maailmas kuidagiviisi hakkama.
Lõpmatuste paine
Lõpmatused tekitavad alati segadust ja arusaamatusi. Pealegi on lõpmatust inimesel psühholoogiliselt keerukas taluda. Igapäevaelus puutume kokku ikkagi lõplike asjade ja nähtusetega. Olgu naturaalarve lõpmatult palju, tegelikult on neid, millega mina arvutan, ikkagi lõplik hulk! Kaks lõpmatust meil ju on, aga neid me ka ei koge. Ei seda, mis oli enne meid, ega ka seda, mis tuleb pärast surma. Selle kohta võib olla mingi teadmine või usk, aga otsene kogemus puudub. Tihti seostub lõpmatu ka millegi täiusliku ja absoluutsega, nagu näiteks Jumal. Lisaks seostuvad lõpmatusega veel mitmesugused paradoksid, seega on lõpmatustega inimestel kerge juhet kokku ajada.4
Juba Aristoteles püüdis sellest lõpmatuse probleemist mööda hiilida nii, et eristas tegelikku lõpmatust ja potentsiaalset lõpmatust. Tegeliku lõpmatuse korral on millegi lõpmatus kõik ühekorraga ühel ajahetkel antud. Sellist lõpmatust Aristotelese arvates olla ei saa. Tema sõnutsi jääb siis üle vaid potentsiaalne lõpmatus: „Jääb üle alternatiiv, et lõpmatusel on potentsiaalne eksistents.“5 Potentsiaalne lõpmatus on selline, mille jätkumisel pole piire. Selline lõpmatus ei eksisteeri mitte ühekorraga, vaid jätkuvalt läbi aja, nii nagu me saame potentsiaalselt loetleda kõiki naturaalarve. Korraga pole neid kõiki aga olemas. Potentsiaalne lõpmatus on meie maailma lahutamatu osa, kas või loendamisel või objektide osadeks jaotamisel. Aktuaalset lõpmatust aga tema arvates ei ole. Vaidlus kestab tänapäevani ja matemaatikute hulgas on nii aktuaalse lõpmatuse olemasolu pooldajaid kui ka vastaseid.6
Kuidas arvudest saavad hulgad
Arvud, või vähemalt midagi sellist, mis vastab arvu mõistele, on kõige ilmsemad asjad maailmas, vähemalt Gödeli maailmas. Kui palju arvusid on? Meile kõigile nii tuttav naturaalarvude hulk ℕ = {0,1, 2, 3, …} on ilmselgelt lõpmatu, kuna ükskõik kui suurele arvule järgneb alati mingi veel suurem arv. Alati saame valitud arvule liita juurde ühe ja tulemuseks ongi suurem arv. Ei ole mingit põhjust oletada, et kusagil saabub arv, millele ei ole enam võimalik ühte juurde liita. Tundub, et arvusid on ilmselt lõpmatult palju. Nii ongi, aga samuti sõltub see ka sellest, millistest arvudest jutt on. Selle mõistmiseks tuleb aga piiluda arvude taha. Ja sealt leiame hulgad. See, et hulgad on arvudest fundamentaalsemad, taibati matemaatikas alles üüratu hulk aega pärast arvude kasutuselevõttu. Numbreid hakkasid inimesed teadaolevalt kasutama kusagil 40 000 aastat e.m.a.7 Vähemalt on leitud objekte, milledele on kraabitud vägagi tõenäoliselt numbreid kujutavaid märke. See aga ei tähenda muidugi seda, et varasematel aegadel oleks matemaatika täielikult puudunud. Katsed on näidanud, et terve hulk loomaliike suudab teha vahet erineval arvul objektide vahel. Kindlasti ei kasuta nad arve ega loe objekte üle, vaid hindavad lihtsalt nende kogust. Bioloogiliselt on omane, et me hindame objektide hulkasid, ligikaudselt võrreldes omavahel hulkade suhteid. Hulkade käsitlemine täpsete numbrite abil on juba kultuurist tulenev nähtus. Hulkade suuruste ligikaudne võrdlemine on ellujäämiseks keskkonnas olulisem kui objektide täpne üleslugemine. Kui näeme kaht puud viljadega, on oluline teada, kumma puu otsas on rohkem vilju, mitte kui palju neid täpselt on. Kui satume kokku võõra hõimuga, on vaja hinnata, kas neid on rohkem kui meid või vähem.
Hulkade tajumise võime eelneb kindlasti loendamisele, seega oleme jälle jõudnud hulkade juurde, tundub, et need moodustavadki matemaatika tegeliku olemuse. Arvud on hulkade näideteks, samuti saab nendega hulki mõõta. Hulkade abil saab kirjeldada kõiki matemaatika objekte ja operatsioone. Hulgateooria üheks alusepanijaks oligi meie jutu kangelane Georg Cantor. Cantor hakkas lõpmatusi käsitlema täiesti uuel viisil. Üksikute arvude asemel võttis ta kasutusele arvude kogumi ehk hulga mõiste ning see heitis hoopiski teistsuguse valguse ka lõpmatuste maailmale. Mis siis hulgad on? Cantor ütles, et hulk on selline omavahel erinevate objektide kogu, millest saab mõelda kui tervikust: „Me mõistame „hulga“ all ükskõik milliste määratletud ja eristatavate kaemus- või mõtteobjektide ühendust tervikuks …“ Samuti on ta öelnud, et „hulk on mitu, mida saab mõtelda ühena“.8 Tänapäeval üldjuhul hulga mõistet täpsemalt ei määratleta, kuna tegemist on teooria alusmõistega. Lihtsustatult võime hulka mõista kui mingite objektide, olgu nendeks siis asjad või ka näiteks mõisted, kogumit.
Kumb on võimsam?
Hulgad võivad olla lõplikud või lõpmatud. Lõplikus hulgas on lõplik arv elemente ja lõpmatus hulgas siis lõpmatu arv elemente. Hulgas leiduvate elementide arvu iseloomustab hulga võimsus. Kui elementide loendamist on võimalik kasutada vaid lõplike hulkade korral, siis võimsuse mõistet kasutatakse ka lõpmatute hulkade iseloomustamiseks. Hulga võimsuse määramiseks on kaks meetodit. Esimene seisneb hulga elementide loendamises. Mingi lõpliku hulga võimsuseks on selle hulga elementide arv, mis võrdub mingi naturaalarvuga. Kui mul on hulk, mille elementideks on viis õuna, siis selle hulga võimsuseks ongi viis. Kahe lõpliku hulga korral on võimsam see hulk, milles on rohkem elemente. Teiseks võimaluseks on seada ühe hulga elemendid vastavusse teise hulga elementidega. Kui meil on õunte hulk, kus on 5 õuna ja ploomide hulk, kus on 7 ploomi, siis võime nii õunad kui ka ploomid üle lugeda ja leida, et ploome on kahe võrra enam ja ploomide hulk seega võimsam. Teiseks võimaluseks on panna õunad ja ploomid üksühesesse vastavusse: selleks paneme iga ploomi juurde ühe õuna ja leiamegi, et kaks ploomi jäävad ilma õunata. Seejuures ei huvita meid õunte ja ploomide täpne arv.
Hulkade elementide üksühene vastavusse seadmine võimaldab hulkasid võrrelda, ilma et me teaksime nende elementide täpset arvu. Lõpmatute hulkade korral on see asjaolu aga otsustava tähtsusega. Lõpmatu hulga elementide arv on ju lõpmatu ja nii iga lõpmatu hulga korral, järelikult pole elementide loendamise teel võimalik lõpmatuid hulki võrrelda. Küll on see aga võimalik nende elementide üksühese vastavusse seadmise teel. Cantor kasutaski hulkade võrdlemisel just seda võtet. Tegemist ei olnud otseselt tema leiutisega, tuntud on näiteks nn Galilei paradoks, mille juures seatakse paaridesse naturaalarvud ja nende ruudud. Seda tehes saame järgmise rea: (1–1), (2–4), (3–9), (4–16), …, (n–n2). Nagu näha, on ruute sama palju kui naturaalarve, sest me saame need seada üksühesesse vastavusse. Samas moodustavad ruudud ju vaid osa naturaalarvudest, kuna enamik nendest ei ole ju ruutarvud! Ruudud moodustavad naturaalarvude pärisalamhulga. Seega on naturaalarvude hulk N ja tema alamhulk, mis koosneb parajasti kõigist ruutudest, sama võimsusega. Täpselt samamoodi on naturaalarvude hulgaga sama võimsusega ka paarisarvude ja paaritute arvude hulk, algarvude hulk ning üldistatult kõik naturaalarvude pärisalamhulgad. See tundub ilmse paradoksina, aga midagi pole teha, lõpmatuse korral on paradoksid vältimatud. Peame ilmselt leppima tõsiasjaga, et lõpmatutes hulkades on pärisalamhulki, milles leidub „niisama palju“ elemente (üksühese vastavuse mõttes) kui hulgas endaski. See tundub olevat vastuolus ühe kõige tavalisema intuitsiooniga igapäevaelust, nimelt sellega, et „tervik on alati suurem kui selle osa“. See väide tundub nii ilmne, et Eukleides võttis selle kümnendaks aksioomiks oma raamatus „Elemendid“. Meie kogemused on aga paratamatult piiratud lõpliku maailmaga ning see viitab ilmselgele tõsiasjale, et lõpmatu maailm ongi teistsugune. Teisalt näitab see aga seda, et matemaatiline intuitsioon lubab meil piiluda teistsugustesse maailmadesse isegi siis, kui need jäävad meile kättesaamatuteks kogemuse mõttes. Kõik lõpmatusega seotud paradoksid on paradoksid meie lõplikus maailmas, lõpmatus maailmas on need lihtlabased tõdemused, mis on transfiniitse matemaatika alustaladeks.
Põhjus, miks Cantori ideed tunduvad olevat tavakäsitlustega vastuolus, on asjaolu, et hulkade elementide üksühesel võrdlemisel ei oma tähtsust terve rida hulkade omadusi, nagu näiteks elementide järjestus, dimensionaalsus, algebralised tehted jms. Tavaintuitsioon annab alla siis, kui me püüame võrrelda joone, kahemõõtmelise pinna ja kolmemõõtmelise ruumi hulkade võimsusi. Eeldus, et tasandil võiks olla enam punkte kui joonel ja veelgi rohkem peaks neid olema ruumis, ei pea paika. Cantor tahtis seda tõestada, kuid pidi 1878. aastal tõdema, et kõik need hulgad on võrdsed. See avastus avaldas Cantorile nii sügavat muljet, et ta kirjutas sõbrale Richard Dedekindile oma kuulsa lause: „Ma näen, kuid ei usu seda!“9 Kõikide nende hulkade võimsus on võrdne! Sama käib ka kõikvõimalike n-dimensionaalsete hüperruumide kohta! Dimensionaalsusel ei ole seega midagi pistmist punktide arvuga, mida see ruum sisaldab.
Võimsusi on mitteloenduvalt palju. See tähendab, et lõpmatuid võimsusi on lõpmatult palju. Seejuures on nende võimsuste struktuur vägagi mitmekesine. Kui suur siis on Lõpmatus? Me ei tea seda, aga uurime kogu aeg edasi.
Cantori lõputa lugu
Cantori esimesed matemaatikaalased tööd käsitlesid Gaussi arvuteooriat ja trigonomeetriliste ridade teooriat. Tegemist oli igati korralike uurimustega, kuid miski ei ennustanud tulevast revolutsiooni matemaatika alustes. Tema esimene artikkel hulgateooriast ilmus 1874. aastal. Cantori vaated ja käsitlused olid vägagi erinevad teiste matemaatikute omadest. See on veel isegi pehmelt öeldud. Ta sai sellest ka ise väga hästi aru, kirjutades 1883. aastal: „Ma ei peida enda eest tõdemust, et selle ettevõtmisega asetan ma ennast kindlasse vastasseisu levinud käsitlustega matemaatilisest lõpmatusest ning sageli väidetavatest arvamustest arvude olemuse kohta.“10 Cantor lõi lõpmatu järjest võimsamate lõpmatuste struktuuri. Kõike olemasolevat haaravat lõpmatust nimetas ta absoluutseks lõpmatuseks ning see oli tema arvates väljaspool matemaatika käsitlusala. Ta eristas kolme liiki lõpmatusi: „Aktuaalne lõpmatus sünnib kolmes kontekstis: esiteks, kui ta realiseerub kõige täielikumal kujul, täielikult sõltumatu teispoolsuse olendis Jumalas, kus ma kutsun seda absoluutseks lõpmatuseks ehk lihtsalt absoluudiks; teiseks, kui see esineb juhuslikus loodud maailmas; kolmandaks, kui mõistus haarab seda in abstracto kui matemaatilist suurust, arvu või järjestustüüpi. Ma tahan väga selgelt eristada absoluutset ja seda, mida ma kutsun transfiniitseks, mis on kahte viimast tüüpi aktuaalsed lõpmatused, mis on selgelt piiratud, avatud edasisele suurenemisele ning seega seotud lõplikuga.“11 Nagu näha on väga selgelt eristatud absoluutne lõpmatus (Jumal), matemaatiline lõpmatus ja füüsikaline lõpmatus. Seejuures on arvu kontsept antud Jumala poolt inimesele, selleks, et ta aduks Jumala kõikvõimsust ja täiuslikkust. Arvud ei olnud tema arvates inimese leiutis, vaid Jumala loodud abstraktsed objektid. Seejuures füüsikalist universumit pidas Cantor nii ajas kui ruumis lõplikuks.
Esialgu vaimustusega vastu võetud hulgateoorias ilmnes aga mitu paradoksi. Esimese mõra hulgateooria vundamendis avastas Cantor ise 1895. aastal. Kaks aastat hiljem kirjutas sellest aga itaalia matemaatik Cesaro Burali-Forti (1861–1931). Probleem seisnes kõikide transfiniitsete arvude hulgas. Nii nagu kõiki muid objekte, saab ka kõiki transfiniitseid arve käsitleda hulgana. Kuna tegemist on täielikult järjestatud hulgaga, siis saab seda kirjeldada transfiniitse arvuga, selliseks arvuks on Ω. Siis peaks aga Ω olema suurem kui kõik transfiniitsed arvud, aga ta on ju ise ka transfiniitne arv. Seega tekib ilmne vastuolu, et arv on iseendast suurem! Cantor ei lasknud ennast sellest paradoksist segada ning väitis, et kõiki lõpmatusi ei saa käsitleda hulkadena. Üheks selliseks ongi kõikide ordinaalide kogum. Sellist hulka nagu Ω olemas ei ole ning seega ei ole ka sellega seotud paradokse. Cantor nimetas selliseid objekte „mittekonsistentsesteks paljususteks“, kuna need on hulgana käsitlemiseks liiga suured. Tegemist on absoluutselt lõpmatute paljusustega, mille iseloomustamiseks ütles Cantor: „Absoluuti saab üksnes tunnistada ja möönda, mitte kunagi aga teada, isegi mitte ligilähedaseltki.“12
Üheks kõige teravamaks Cantori kriitikuks kujunes tema Berliini ülikooli aegne õpetaja Leopold Kronecker (1823–1891), kes oli küll hiilgav matemaatik, kuid samal ajal matemaatika suhtes vägagi konservatiivsete vaadetega. Esialgu toetas Kronecker igati oma õpilast, aitas tal Hallesse asuda ja retsenseeris tema esimesi teadustöid. Tema suhtumine muutus aga siis, kui Cantor asus tegelema lõpmatustega. Kronecker eitas igasugust võimalust, et aktuaalne lõpmatus võiks olemas olla, leidis, et matemaatika peab põhinema ainult naturaalarvudel ning pidas ka irratsionaalarve mõttetuseks, mis tuleb keelata. Kindlasti mängis Kroneckeri vihas oma osa ka rivaliteet märksa kuulsma õpilase suhtes. Kronecker nimetas teda isegi „nooruse hukutajaks“ ning tema teooriat täielikuks eksituseks. Ta kirjutas: „Ma ei tea, kumb on Cantori teoorias ülekaalus – filosoofia või teoloogia, aga kohe kindlasti ei ole seal tegemist matemaatikaga.“13 Järjest enam paranoiliseks muutuv Cantor oli Kroneckeri kriitikast sügavalt häiritud. Kronecker takistas Cantoril saamast ihaldatud professorikohta Berliinis või Göttingenis. Samuti takistas ta Cantori artiklite avaldamist. 1884. aasta mais varises Cantor vaimselt kokku ja sattus vaimuhaiglasse. Tõenäoliselt kannatas ta bipolaarse häire all. Ta oli siis kõigest kolmekümne üheksa aastane. Tervis küll taastus, kuid edaspidi saatsid teda rängad depressioonihood, mis nõudsid haiglaravi kuni elu lõpuni. Pärast esimest ränka haigushoogu otsustas Cantor matemaatikast loobuda. Ta hakkas tegelema hoopiski kirjandusajalooga ning püüdis tõestada, et Shakespeare’i näidendid on tegelikult kirjutanud Francis Bacon. See oli tollal vägagi huvipakkuv teema ning Cantor suutis ka selles vallas nii mõndagi saavutada. Kui kirjanduslooga tegelemine tuli ehk ootamatult, siis pöördumine teoloogia poole oli Cantori religioosset tausta arvestades igati arusaadav samm. Cantor oli väga usklik ning oli mõelnud oma lõpmatuseuuringute teoloogilise tähenduse üle juba varem. Ta oli veendunud, et ta mitte ei leiutanud lõpmatuse teooriat, vaid hoopiski avastas selle. Ta vaid edastas jumala mõistuses olevat teadmist lõpmatuse kohta. 1917. aastal sattus Cantor järjekordselt vaimuhaiglasse. Sõja tõttu olid haiglate toidunormid väikesed ja Cantor hakkas tugevasti ka kaalu kaotama. 6. jaanuaril 1918 aastal suri ta südameataki tagajärjel.
Cantor väitis, et oli jõudnud oma lõpmatuste uuringutel „kõikide loodud asjade esmase kindla põhjuseni“.14 Selleks esmaseks kindlaks põhjuseks oli muidugi Jumal. Absoluutne, täielik lõpmatus kuulus Jumalale. Transfiniitsed numbrid moodustasid selge hierarhia lihtsamatest järjest keerulisemateks, kuni jõudsid absoluutse või tõelise lõpmatuseni. Absoluutne lõpmatus oli erinev transfiniitsetest lõpmatustest, kuna seda ei olnud võimalik hõlmata transfiniitse matemaatikaga.
Kuna igast lõpmatust hulgast oli alati võimalik luua uut võimsamat lõpmatut hulka, siis ei saanud absoluutne lõpmatus olla sarnane nende tavaliste lõpmatustega, see pidi olema midagi kvalitatiivselt täiesti erinevat. Absoluutne lõpmatus oli inimeste mõistusele haaramatu, sest kui see oleks haaratav, sarnaneks see kõikide teiste lõpmatustega. Cantor suhtles tihedalt Constantin Gutberletiga (1837–1928), kes oli katoliku preester, teoloog ja üks tuntumaid saksa neotomistlikke filosoofe. Gutberlet väitis, et Jumala mõistus on muutumatu ning et Jumala mõtted moodustavad absoluutse, lõpmatu ja täielikult kinnise hulga. See tõestas tema arvates Cantori transfiniitsete hulkade reaalset eksistentsi. Cantori teooria näitas tema arvates inimese võimet mõista aktuaalset lõpmatust. Cantor omakorda leidis kristlikus filosoofias tõelise aluse oma lõpmatuseteooriale: „Minule on kristlik filosoofia pakkunud esimest korda tõelise lõpmatuse teooria.“14
Kuna hulgateooriaid on lõpmatu hulk, siis on ka nendel põhinevaid matemaatikaid lõpmatu hulk. Vaene krüptodetektiiv on suuremas hädas, kui ta kartagi oskas. Olla lõksus matemaatilises struktuuris on juba iseenesest kole, aga olla lõksus lõpmatutes matemaatilistes struktuurides …
1 David Hilbert, Über das Unendliche – Mathematische Annalen, 95, 1926. 1, lk 161–190.
2 Kurmo Konsa, Krüptodetektiiv satub matemaatikasse lõksu – Sirp 13. VII 2018.
3 Robert Geroch, General relativity from A to B. Chicago. University of Chicago Press, 1978, lk 20–21.
4 Vt Enn Kasak, Paradoksid: must auk mõtlemises. Argo, Tallinn, 2018.
5 Aristotle, Physics. Raamat 3, osa 6.
6 Vt A. W. Moore, Lõpmatus. Eesti Keele Sihtasutus, Tallinn, 2015.
7 Caleb Everett, Numbers and the making of us: counting and the course of human cultures. Cambridge, Massachusetts : Harvard University Press, 2017, lk 36.
8 Georg Cantor, Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers. New York, Dower, 1955, 85; Georg Cantor, Gesammelte Abhandlungen. Berlin, 1932, lk 204.
9 Joseph W. Dauben, The development of Cantorian set theory – I. Grattan-Guiness (ed.) From the Calculus to Set Theory, 1630–1910. London, Duckworth, 1980, lk 55.
10 Eli Maor. 1987. To infinity and beyond: a cultural history of the infinite. Boston; Basel; Stuttgart: Birkhauser, lk 55.
11 R. Rucker, Infinity and the maind. London: Paladin, 1984, lk 9.
12 A .W. Moore, Lõpmatus. Tallinn, Eesti Keele Sihtasutus, lk 208.
13 Selle tsitaadi, mida sageli korratakse, täpne allikas on teadmata.
14 John D. Barrow, The infinite book: a short guide to the boundless, timeless and endless. London, Vintage Books, lk 88.
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor sündis 3. märtsil 1845. aastal Peterburis jõuka juudi kaupmehe peres.
Isa Georg Woldemar Cantor oli pärit Taanist, kust ta noormehena rändas Peterburi. Kui Cantori isa oli protestant, siis kunstnikuandega ema Maria Böhm oli katoliiklane.
Cantor & Co. tegeles edukalt rahvusvahelise hulgikaubandusega ning perekonnal rahapuudust ei olnud. Georg, kes oli perekonna kuuest lapsest vanim, oli andekas nii muusikas kui ka kunsti alal, teismeliseeas hakkasid teda aga huvitama matemaatika, füüsika ja astronoomia. Isa haiguse tõttu kolis perekond 1856. aastal Venemaalt Saksamaale, lootes sealsele paremale kliimale.
1862. aastal astus ta Zürichi polütehnilisse instituuti ning pärast isa surma 1863. aastal Berliini ülikooli. 1867. aastal kaitses ta seal väitekirja arvuteooriast. Berliini ülikool oli XIX sajandi keskpaiku tõeline maailma matemaatikakeskus, seal töötasid näiteks Karl Weierstrass, Sophie Kowalevski, Bernhard Riemann,
Peter Dirichlet ja Leopold Kronecker.
Peale doktorikraadi omandamist asus ta tööle Halle ülikooli, lootes sealt peagi asuda märksa prestiižsemasse Berliini või Göttingeni ülikooli.
Tema lootustel ei olnud aga antud täituda ja nii ta veetiski kogu ülejäänud elu Halles, töötades sealses ülikoolis alguses eradotsendi ja hiljem professorina. 1874. aastal abiellus Cantor oma õe sõbranna Vally Guttmanniga ning perre sündis kokku kuus last. Wikimedia Commons